Cea mai simplă problemă de matematică ar putea fi imposibil de rezolvat. Ce este conjectura lui Collatz

La prima vedere, problema pare ridicol de simplă. Și, cu toate acestea, experții au căutat în zadar o soluție de zeci de ani. Conjectura lui Collatz i-a pus în dificultate pe matematicieni atât de mult încât aceștia au ajuns să îi avertizeze pe studenți să stea cât mai departe de ea, potrivit Scientific American.

Potrivit matematicianului Jeffrey Lagarias, expertul în teoria numerelor, Shizua Kakutani, i-ar fi spus pe vremea Războiului Rece că „timp de aproximativ o lună, toată lumea la Universitatea Yale a lucrat la ea (conjectura lui Collatz), fără rezultat. Un fenomen asemănător a avut loc când am menționat-o la Universitatea din Chicago. A apărut o glumă conform căreia problema ar fi făcut parte dintr-o conspirație care să încetinească cercetarea matematică în SUA”.

Conjectura lui Collatz, pe care a descris-o Kakutani, este una dintre acele probleme care par simple la prima vedere, dar în care te poți pierde mult timp. De aceea, profesorii cu experiență îi avertizează de multe ori pe studenții lor mai ambițioși să nu se preocupe prea mult cu această problemă pentru că riscă să piardă din vedere adevărata lor muncă de cercetare.

Problema poate fi formulată atât de simplu încât și un elev de școală primară o poate înțelege. Alege un număr natural. Dacă este impar, înmulțește-l cu 3 și adaugă 1; dacă este par, împarte-l la 2. Repetă procedura cu orice rezultat x: Dacă x este impar, calculezi 3x + 1; altfel, calculezi x / 2. Conform problemei, dacă tot repeți aceste instrucțiuni, la un moment dat rezultatul va fi întotdeauna 1.

Spre exemplu, dacă începi cu 5, ai 5 * 3 + 1 = 16. Pentru că 16 este număr par, trebuie să îl înjumătățești. Apoi 8 / 2 = 4, care se divide din nou cu și rămâi cu 2. 2 / 2 = 1. Procesul calculului iterativ ajunge la final după cinci etape.

Poți continua să calculezi și cu cifra 1, dar intri într-o buclă infinită, astfel că rezultatul 1 este considerat punctul final al procedurii.

Iată alte câteva exemple și succesiunea de calcule pe care o determină:

• 6 – 3 – 10 – 5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1
• 42 – 21 – 64 – 32 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

Indiferent de la ce număr începi, rezultatul final va fi întotdeauna 1. Există numere, precum 27, unde procesul durează foarte mult, dar rezultatul este același; în acest caz, pentru a ajunge la 1 trebuie să faci 111 calcule.

Ceea ce este ciudat, însă, este că încă nu există nicio dovadă matematică care să demonstreze că problema Siracusa – sau conjectura lui Collatz – este adevărată, o situație care i-a uluit pe matematicieni de foarte mult timp.

O problemă simplă care i-a uluit pe matematicieni

Originile problemei Siracusa nu sunt clare. De aceea are și atâtea denumiri. Experți vorbesc despre conjectura lui Collatz, problema Ulam, conjectura 3n + 1, algoritmul Hasse sau problema Kakutani.

Matematicianul german Lothar Collatz a devenit interesat de funcțiile iterative în timpul studiilor sale matematice și le-a investigat. În anii '50 și '60, conjectura lui Collatz a devenit în sfârșit cunoscută, atunci când matematicienii Helmut Hasse și Shizua Kakutani, printre alții, au prezentat-o în diverse universități, inclusiv la Universitatea Siracusa.

Precum cântecul sirenelor, această aparent simplă problemă a captivat atenția experților. Timp de multe decenii, ei au căutat să demonstreze de ce, prin repetarea procedurii Collatz de un număr finit de ori, rezultatul este mereu 1.

Motivul insistenței cercetătorilor în rezolvarea problemei nu are legătură doar cu simplitatea ei: conjectura lui Collatz este asociată și cu alte întrebări importante din matematică.

Spre exemplu, astfel de funcții iterative apar și în sistemele dinamice, precum modelele care descriu orbitele planetelor. Problema este legată și de ipoteza Riemann, una dintre cele mai vechi probleme din teoria numerelor.

Cercetătorii au verificat un număr uriaș de cazuri și, pentru fiecare dintre numerele alese, conjectura lui Collatz se aplică. Asta nu înseamnă că nu ar putea exista vreun număr căruia, dacă i se aplică în mod repetat procedurile Collatz, rezultatele vor fi tot mai mari până când vor tinde spre infinit. Din punct de vedere statistic, însă, acest scenariu pare improbabil.

Conjectura lui Collatz se aplică doar pentru numerele naturale, iar experții au arătat că, dacă există un număr natural pentru care procedura nu este corectă, acel număr ar trebui să aibă cel puțin 186 de milioane de cifre.

Poate că în următorii ani cineva va reuși să demonstreze că problema Siracusa este adevărată sau falsă, dar mai există și o altă posibilitate. S-ar putea ca ea să fie cu adevărat o problemă ce nu poate fi demonstrată prin metodele matematice disponibile.

În 1987, regretatul matematician John Horton Conway a analizat o generalizare a conjecturii lui Collatz și a descoperit că funcțiile iterative au proprietăți care sunt imposibil de demonstrat. S-ar putea ca acest lucru să se aplice și la problema Siracusa. Pe cât de simplă pare, problema ar putea rămâne pentru totdeauna nerezolvată.

Editor : Raul Nețoiu